Question

已知數列a_n滿足a₁+2a₂+2²a₃+…+2^n-1a_n=

n

2

（n∈N^*）．
（Ⅰ）求數列{a_n}的通項；
（Ⅱ）若bn=

n

an

求數列{b_n}的前n項和S_n．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用a1+2a2+2a3…+2n-1an=

n

2

，再寫一式，兩式相減，即可得到結論；
（Ⅱ）利用錯位相減法，可求數列{b_n}的前n項S_n和．

解答：解：（Ⅰ）n=1時，a₁=

1

2

∵a1+2a2+2a3…+2n-1an=

n

2

…..（1）
∴n≥2時，a1+2a2+2a3…+2n-2an-1=

n-1

2

…．（2）
（1）-（2）得2n-1an=

1

2

即an=

1

2n

又a1=

1

2

也適合上式，∴an=

1

2n

（Ⅱ）bn=n•2n，∴Sn=1•2+2•22+3•23+…+n•2n（3）
2Sn=1•22+2•23+…+(n-1)•2n+n•2n+1（4）
（3）-（4）可得-S_n=1•2+1•2²+1•2³+…+1•2ⁿ-n•2ⁿ⁺¹
=

2(1-2n)

1-2

-n•2n+1=2n+1-2-n•2n+1
∴Sn=(n-1)•2n+1+2

點評：本題考查數列遞推式，考查數列的通項與求和，解題的關鍵是確定數列的通項，利用錯位相減法求和．