Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的離心率

3

2

，橢圓C上任一點到兩個焦點的距離和為4，直線l過點P（1，0）與橢圓C交于不同的兩點A，B．
（I）求橢圓C的方程；
（II） 若

AP

=λ

PB

，試求實數λ的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）由橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的離心率

3

2

，解得a=2，c=

3

，b=1，由此能求出橢圓C的方程．
（II）直線l過點P（1，0），當直線l的斜率k不存在時，直線l的方程是x=1，此時

AP

=

PB

，λ=1；當直線l的斜率k存在時，設l的方程是y=k（x-1），當k=0時，λ取最大值3或取最小值

1

3

．

解答：解：（I）∵橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的離心率

3

2

，
橢圓C上任一點到兩個焦點的距離和為4，
∴

c a = 3 2 2a=4 a2=b2+c2

，
解得a=2，c=

3

，b=1，
∴橢圓C的方程為：

x2

4

+y2=1．
（II）∵直線l過點P（1，0），
①當直線l的斜率k不存在時，直線l的方程是x=1，
此時

AP

=

PB

，λ=1；
②當直線l的斜率k存在時，設l的方程是y=k（x-1），
由

y=k(x-1) x2 4 +y2=1

，得（4k²+1）x²-8k²x+4k²-4=0，
△=64k⁴-4（4k²+1）（4k²-4）=48k²+16＞0，直線與圓恒有公共點，下對參數的取值范圍進行討論
當k=0時，A（2，0），B（-2，0），P（1，0），或B（2，0），A（-2，0），P（1，0），
當A（2，0），B（-2，0），P（1，0）時，

AP

=(-1，0)，

PB

=(-3，0)
λ_min=

AP

PB

=

1

3

；
當B（2，0），A（-2，0），P（1，0）時，

AP

=(3，0)，

PB

=(1，0)
λ_max=

AP

PB

=3．
∴實數λ的取值范圍是[

1

3

，3]．
故實數λ的取值范圍是[

1

3

，3]．

點評：本題考查橢圓的方程和求實數λ的取值范圍，考查直線和橢圓的位置關系及相關知識，解題時要認真審題，仔細解答，注意合理地進行等價轉化．