Question

橢圓的長軸長為4，焦距為2，F₁、F₂分別為橢圓的左、右焦點，直線過點且垂直于橢圓的長軸，動直線垂直于點，線段垂直平分線交于點
（1）求橢圓的標準方程和動點的軌跡的方程。
（2）過橢圓的右焦點作斜率為1的直線交橢圓于A、B兩點，求的面積。
（3）設軌跡與軸交于點，不同的兩點在軌跡上，
滿足求證：直線恒過軸上的定點。

Answer 1

解：（1）由題設知：2a = 4，即a = 2，2c=2，即c=1，
故橢圓方程為，      ………2分
∵MP=MF₂，
∴動點M到定直線的距離等于它到定點F₁（1，0）的距離，
∴動點M的軌跡是C為l₁準線，F₂為焦點的拋物線 
∴點M的軌跡C₂的方程為   …………5分
（2） 消去 并整理得： 
設 則  ---------------7分
 =-----------9分
（3）Q（0，0），設    ------------10分
  
         ---------------------------11分
 
 
 ----------------13  分        
故直線RS恒過定點（4，0）-------------------------------------------------------14分

略