Question

已知函數 (R)．

(1)當時，求函數的極值；

（2）若函數的圖象與軸有且只有一個交點，求的取值范圍．

 

Answer 1

（1）當時, 取得極大值為;

當時, 取得極小值為.

（2）a的取值范圍是．

【解析】

試題分析：（1）遵循“求導數，求駐點，討論駐點兩側導數值符號，確定極值”.

（2） 根據 = ，得到△= = .

據此討論：① 若a≥1，則△≤0，

此時≥0在R上恒成立，f（x）在R上單調遞增 .

計算f（0），,得到結論.

② 若a＜1，則△＞0，= 0有兩個不相等的實數根，不妨設為．

有．

給出當變化時，的取值情況表.

根據f（x1）·f（x2）＞0, 解得a＞．作出結論.

試題解析： （1）當時，，

∴.

令=0, 得 . 2分

當時,, 則在上單調遞增;

當時,, 則在上單調遞減;

當時,, 在上單調遞增. 4分

∴ 當時, 取得極大值為;

當時, 取得極小值為. 6分

（2） ∵ = ，

∴△= = .

①若a≥1，則△≤0， 7分

∴≥0在R上恒成立，

∴ f（x）在R上單調遞增 .

∵f（0），,

∴當a≥1時，函數f（x）的圖象與x軸有且只有一個交點． 9分

② 若a＜1，則△＞0，

∴= 0有兩個不相等的實數根，不妨設為．

∴．

當變化時，的取值情況如下表：

x		x1	（x1，x2）	x2
	+	0	－	0	+
f（x）	↗	極大值	↘	極小值	↗

11分

∵,

∴.

∴

=

.

同理.

∴

.

令f（x1）·f（x2）＞0, 解得a＞．

而當時,, 13分

故當時, 函數f（x）的圖象與x軸有且只有一個交點.

綜上所述，a的取值范圍是． 14分

考點：應用導數研究函數的極值、單調性及函數的圖象，分類討論思想.