Question

若對一切θ∈R，復(fù)數(shù)z=（a+cosθ）+（2a-sinθ）i的模不超過2，則實數(shù)a的取值范圍為（　　）

• A、[-

  5

  5

  ，

  5

  5

  ]
• B、[-

  3

  5

  ，

  3

  5

  ]
• C、[-

  5

  3

  ，

  5

  3

  ]
• D、（-

  5

  5

  ，

  5

  5

  ）

Answer 1

分析：首先寫出復(fù)數(shù)的模長的表示式，使得模長不大于2，兩邊平方，根據(jù)三角函數(shù)恒等變形，整理出最簡形式，根據(jù)對于一切角度屬于實數(shù)都成立，只要大于最大值就可以，解出關(guān)于a的不等式即可．

解答：解：∵復(fù)數(shù)z=（a+cosθ）+（2a-sinθ）
∴|z|=

(a+cosθ)2+(2a-sinθ)2

=

2acosθ-4asinθ+5a2+1

≤2，
∴2acosθ-4asinθ+5a²≤3對一切θ∈R都成立，
∴2a（cosθ-2sinθ）≤3-5a²都成立，
∴2a

5

cos（θ+α）≤3-5a²恒成立，
∴2

5

|a|≤3-5a²
∴|a|≤

5

5

，
∴a的取值范圍是[-

5

5

，

5

5

]
故選A．

點評：本題考查復(fù)數(shù)求模，考查不等式的求解，考查三角函數(shù)輔角公式的應(yīng)用，考查函數(shù)的恒成立思想，本題是一個綜合題目