Question

（2011•廣州一模）若對一切θ∈R，復數z=（a+cosθ）+（2a-sinθ）i的模不超過2，則實數a的取值范圍為

[-

5

5

，

5

5

]

．

Answer 1

分析：由題意可得（a+cosθ）²+（2a-sinθ）²=5a²+1+2

5

asin（θ+∅）≤4，即2

5

asin（θ+∅）+5a²-3≤0，即

2 5 a + 5a2-3≤0 -2 5 a + 5a2-3≤0

，求得實數a的取值范圍．

解答：解：由題意可得  （a+cosθ）²+（2a-sinθ）²=5a²+1+2a（cosθ-2sinθ）=5a²+1+2

5

asin（θ+∅）≤4，
 即  2

5

asin（θ+∅）+5a²-3≤0．令 sin（θ+∅）=x，-x≤x≤1，
則 f（x）=2

5

a x+5a²-3 （-x≤x≤1）是一次函數，
由題意得f（x）≤0，∴

2 5 a + 5 a2-3≤0  -2 5 a + 5 a2-3≤0

，
解得-

5

5

≤a≤

5

5

，
故答案為  [-

5

5

，

5

5

]．

點評：本題考查復數的模的定義，兩角和的正弦函數，一次函數在閉區間上小于0的條件，得到

2 5 a + 5a2-3≤0 -2 5 a + 5a2-3≤0

，
是解題的關鍵．