Question

2．設函數f（x）=e^x+sinx（e為自然對數的底數），g（x）=ax，F（x）=f（x）-g（x）．
（1）若x=0是F（x）的極值點，且直線x=t（t≥0）分別與函數f（x）和g（x）的圖象交于P，Q，求P，Q兩點間的最短距離；
（2）若x≥0時，函數y=F（x）的圖象恒在y=F（-x）的圖象上方，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據題意可知f（t）=g（t），令h（x）=e^x+sinx-x（x≥0），求出其導函數，進而求得h（x）的最小值即為P、Q兩點間的最短距離．
（2）令ϕ（x）=F（x）-F（-x）=e^x-e^-x+2sinx-2ax，函數y=F（x）的圖象恒在y=F（-x）的圖象上方，等價于ϕ（x）≥0恒成立，求出其導函數，可求出φ（x）的單調性，進而可求得a的取值范圍．

解答 解：（1）因為F（x）=e^x+sinx-ax，所以F'（x）=e^x+cosx-a，
因為x=0是F（x）的極值點，所以F'（0）=1+1-a=0，a=2．
又當a=2時，若x＜0，F'（x）=e^x+cosx-a＜1+1-2=0，
所以F'（x）在（0，+∞）上為增函數，所以F'（x）＞F'（0）=1+1-2=0，所以x=0是F（x）的極小值點，
所以a=2符合題意，所以|PQ|=e^t+sint-2t．令h（x）=e^x+sinx-2x，即h'（x）=e^x+cosx-2，
因為h''（x）=e^x-sinx，當x＞0時，e^x＞1，-1≤sinx≤1，
所以h''（x）=e^x-sinx＞0，所以h'（x）=e^x+cosx-2在（0，+∞）上遞增，
所以h'（x）=e^x+cosx-2＞h'（0）=0，∴x∈[0，+∞）時，h（x）的最小值為h（0）=1，所以|PQ|_min=1．
（2）令ϕ（x）=F（x）-F（-x）=e^x-e^-x+2sinx-2ax，
則ϕ'（x）=e^x-e^-x+2cosx-2a，S（x）=ϕ''（x）=e^x-e^-x-2sinx，
因為S'（x）=e^x+e^-x-2cosx≥0當x≥0時恒成立，所以函數S（x）在[0，+∞）上單調遞增，∴S（x）≥S（0）=0當x∈[0，+∞）時恒成立；
故函數ϕ'（x）在[0，+∞）上單調遞增，所以ϕ'（x）≥ϕ'（0）=4-2a在x∈[0，+∞）時恒成立．
當a≤2時，ϕ'（x）≥0，ϕ（x）在[0，+∞）單調遞增，即ϕ（x）≥ϕ（0）=0．
故a≤2時F（x）≥F（-x）恒成立．
當a＞2時，因為ϕ'（x）在[0，+∞）單調遞增，
所以總存在x₀∈（0，+∞），使ϕ（x）在區間[0，x₀）上ϕ'（x）＜0，即ϕ（x）在區間[0，x₀）上單調遞減，而ϕ（0）=0，
所以當x∈[0，x₀）時，ϕ（x）＜0，這與F（x）-F（-x）≥0對x∈[0，+∞）恒成立矛盾，
所以a＞2不符合題意，故符合條件的a的取值范圍是（-∞，2]．

點評 本題考查函數的單調性、最值問題，考查導數的應用以及分類討論思想，轉化思想，是一道綜合題．