Question

已知奇函數f（x）（x∈R），滿足f（x+4）=f（x）+f（2），且f（1）=2，則f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2010）=（　　）

A、0

B、-1

C、-2

D、2

Answer 1

分析：由f（x+4）=f（x）+f（2），且函數f（x）為奇函數，我們令x=-2，易得f（2）=0，進而得到函數是周期為4的周期函數，結合f（1）=2，我們易得f（4n+1）+f（4n+2）+f（4n+3）+4（4n+4）=0（n∈N*），然后利用分組求和法即可得到答案．

解答：解：∵f（x+4）=f（x）+f（2），
令x=-2，則f（-2+4）=f（-2）+f（2），
即f（2）=f（-2）+f（2），
∴f（-2）=0
又∵f（x）為奇函數
∴f（2）=0，即函數滿足f（x+4）=f（x）
即函數是以4為周期的周期函數
又∵f（1）=2
∴f（4n+1）+f（4n+2）+f（4n+3）+4（4n+4）=0（n∈N*）
∴f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2010）
=f（2009）+f（2010）=2+0=2
故選D

點評：本題考查的知識點是抽象函數及其應用，奇函數的性質，函數的周期性，數列的分組求和法，其中利用抽象函數滿足f（x+4）=f（x）+f（2），結合奇函數的性質，得到函數為周期函數是解答本題的關鍵．