Question

8．給定兩個命題，命題p：對?x∈R，不等式ax²+ax+1＞0恒成立，命題q：關于x方程x²-x+a=0有實數根；若p∧q為假命題，p∨q為真命題，求實數a范圍．

Answer 1

分析 求出p、q為真時，對應a的取值范圍，再根據復合命題的真假性得出p，q的真假性，從而求出a的取值范圍．

解答 解：若p為真，則a=0或$\left\{\begin{array}{l}{a＞0}\\{△{=a}^{2}-4a＜0}\end{array}\right.$，
解得0＜a＜4；
當命題p為真時，a的范圍是：0≤a＜4；
若q為真，則△=1-4a≥0，解得a≤$\frac{1}{4}$；
又p∧q為假命題，p∨q為真命題，
故p，q必一真一假；
①、若p真q假時，$\left\{\begin{array}{l}{a＞\frac{1}{4}}\\{0≤a＜4}\end{array}\right.$，
解得$\frac{1}{4}$＜a＜4；
②、若p假q真時，$\left\{\begin{array}{l}{a≥4或a＜0}\\{a≤\frac{1}{4}}\end{array}\right.$，
解得a＜0；
綜上所述，所求a的范圍是：（-∞，0）∪（$\frac{1}{4}$，4）．

點評 本題考查了復合命題真假性的應用問題，是綜合性題目．