Question

設x，y∈R，則（3-4y-cosx）²+（4+3y+sinx）²的最小值為（　　）

A．4

B．5

C．16

D．25

Answer 1

分析：明確（3-4y-cosx）²+（4+3y+sinx）²的幾何意思，為直線3x+4y-25=0上的點到圓x²+y²=1上的點的距離的平方，利用點到直線間的距離公式即可求得答案．

解答：解：∵（3-4y-cosx）²+（4+3y+sinx）²=(

[(3-4y)-cosx]2+[(4+3y)-(-sinx)]2

)2，
類比兩點間的距離公式|AB|=

(x1-x2)2+(y1-y2)2

，
而且3（3-4y）+4（4+3y）-25=0，
∴所求的式子為直線3x+4y-25=0上的一點到圓x²+y²=1上的一點的距離的平方，
畫圖可知，過原點O（0，0）作3x+4y-25=0的垂線段，垂直為P，|OP|=

|3×0+4×0-25|

32+42

=5，
OP與圓的交點分別為M、N，
顯然，（3-4y-cosx）²+（4+3y+sinx）²的最小值為|PM|²=（|OP|-|OM|）²=（|OP|-1）²=16．
故選C．

點評：本題考查三角函數的最值，理解（3-4y-cosx）²+（4+3y+sinx）²的幾何意思是關鍵，也是難點，考查轉化思想與邏輯思維能力，屬于難題．