Question

【題目】已知橢圓經(jīng)過點(diǎn)，離心率為， 為坐標(biāo)原點(diǎn)．

（I）求橢圓的方程．

（II）若點(diǎn)為橢圓上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)與點(diǎn)的垂直平分線l交軸于點(diǎn)，求的最小值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ） .

【解析】試題分析：（I）由離心率得到，再由橢圓過點(diǎn)E可求得， ，故可得橢圓的方程；（II）設(shè)點(diǎn)，結(jié)合條件可得AP的垂直平分線的方程為： ，令，得，再由點(diǎn)P在橢圓上可得得，化簡(jiǎn)點(diǎn)，求出|OB|后用基本不等式求解即可。

試題解析：（Ⅰ）因?yàn)闄E圓的離心率為，

所以，故，

所以橢圓的方程為為，

又點(diǎn)在橢圓上，

所以，

解得，

所以橢圓的方程為．

（Ⅱ）由題意直線的斜率存在，設(shè)點(diǎn)，

則線段的中點(diǎn)的坐標(biāo)為，且直線的斜率，

因?yàn)橹本�，

故直線的斜率為，且過點(diǎn)，

所以直線的方程為： ，

令，得，

則，

由，得，

化簡(jiǎn)得．

所以．

當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立．

所以的最小值為．