Question

已知函數f（x）是R上的奇函數，且當x＞0時，函數的解析式為f(x)=

2

x

-1．
（1）求f（-1），f（0）的值；
（2）判斷f（x）在（0，+∞）上的單調性并證明．

Answer 1

分析：（1）根據奇函數的性質分別求f（-1），f（0）的值；
（2）根據函數單調性的定義證明f（x）在（0，+∞）上的單調性．

解答：解：（1）∵函數f（x）是R上的奇函數，
∴f（0）=0，f（-1）=-f（1）．
∵當x＞0時，函數的解析式為f(x)=

2

x

-1．
∴f（-1）=-f（1）=-（2-1）=-1．
（2）設0＜x₁＜x₂，則f(x1)-f(x2)=

2(x2-x1)

x1x2

，
∵0＜x₁＜x₂，
∴x₂-x₁＞0，x₁x₂＞0，
∴f(x1)-f(x2)=

2(x2-x1)

x1x2

＞0，
即f（x₁）＞f（x₂），
∴f（x）在（0，+∞）上的單調遞減，是減函數．

點評：本題主要考查函數奇偶性的應用，以及函數單調性的判斷，利用函數奇偶性的定義和單調性的定義是解決本題的關鍵．