Question

已知直線x+2y+m=0(m∈R)與拋物線C:y²=x相交于不同的兩點A,B.

(1)求實數m的取值范圍.

(2)在拋物線C上是否存在一個定點P,對(1)中任意的m的值,都有直線PA與PB的斜率互為相反數?若存在,求出點P的坐標;若不存在,試說明理由.

Answer 1

解:(1)因為拋物線與直線有兩個不同的交點,

所以方程組有兩個不同的解,即方程y²+2y+m=0有兩個不同的解.

所以Δ=4-4m＞0,即m＜1.                                           

(2)方法一:設A(y₁²,y₁),B(y₂²,y₂),P(y₀²,y₀).                             

    由k_AB===-,得y₁+y₂=-2.                     

k_PA==,k_PB==.                    

假設在拋物線上存在定點P使得直線PA與PB的斜率互為相反數,即k_PA=-k_PB,

即=-,即2y₀=-(y₁+y₂)=2,得y₀=1,                     

即存在定點P(1,1)使得直線PA與PB的斜率互為相反數.              

方法二:若存在定點P(y₀²,y₀).設A(y₁²,y₁),B(y₂²,y₂),PA的斜率為k(k≠0).    

直線PA的方程為y-y₀=k(x-y₀²),由得ky²-y+y₀-ky₀²=0.

所以y₀+y₁=,即y₁=-y₀.

同理,y₂=--y₀.                                                  

因為A,B兩點在直線x+2y+m=0上,

所以k_AB====-=-,即y₀=1,     

即存在定點P(1,1)使得直線PA與PB的斜率互為相反數.