Question

已知直線x+2y+m=0(m∈R)與拋物線C：y²=x相交于不同的兩點A，B，

（1）求實數m的取值范圍；

（2）在拋物線C上是否存在一個定點P，對（1）中任意的m的值，都有直線PA與PB互為相反數？若存在，求出點P的坐標；若不存在，試說明理由.

Answer 1

解析：(1)∵拋物線與直線有兩個不同的交點，

∵有兩個不同的解，

即方程y²+2y+m=0有兩個不同的解，

∴Δ=4-4m＞0,即m＜1.

(2)設A（y₁²,y₁）,(y₂²,y₂),P(y₀²,y₀),

由k_AB=,得y₁+y₂=-2,

k_PA=,

k_PB=，

假設在拋物線上存在定點P使得直線PA與PB的斜率互為相反數，即：,

即：2y₀=-(y₁+y₂)=2,得y₀=1.

∴存在定點P（1，1）使得直線PA與PB的斜率互為相反數.