Question

【題目】已知函數（為自然對數的底數，）.

（1）求函數在點處的切線方程；

（2）若對于任意，存在，使得，求的取值范圍；

（3）若恒成立，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）.

【解析】

（1）對函數求導，求得，，由直線的點斜式方程可求得切線；

（2）對函數求導，得出函數在上單調性，可求得函數在上的最值，再根據對于任意，存在，使得，則需，

討論a可求得a的范圍；

(3) )因為，所以由得令，則，分析導函數的正負，得出原函數的單調性，從而得出最值，根據不等式恒成立的思想得出求得a的范圍.

（1），，，又，

所以切線方程為：，即；

（2），時，，在上單調遞增，，

由于對于任意，存在，使得，則需，

當時，，不滿足，故，

當時，在上單調遞增，，所以，解得；

當時，在上單調遞減，所以在上沒有最大值，所以不滿足，

綜上可得，;

(3)因為，所以由得令，則，

令則在上單調遞減，且，所以存在唯一的零點，使得，

即有也即有，，即，

所以，，所以在上單調遞增，在上遞減，所以，

而，所以，

所以.

所以的取值范圍是.