Question

已知（a²+1）ⁿ展開式中各項(xiàng)系數(shù)之和等于（x²+）⁵的展開式的常數(shù)項(xiàng)，而（a²+1）ⁿ的展開式的二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)的系數(shù)等于54，求a的值．

Answer 1

【答案】分析：由二項(xiàng)式定理通項(xiàng)公式知T_r+1=C₅^r（x²）^5-r（）^r=（）^5-r•C₅^r•x．由20-5r=0，知r=4，由題意得2ⁿ=16，n=4．再由二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)知，（a²+1）ⁿ展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)是中間項(xiàng)T₃，由此可求出a的值．
解答：解：由（x²+）⁵得，
T_r+1=C₅^r（x²）^5-r（）^r=（）^5-r•C₅^r•x．
令T_r+1為常數(shù)項(xiàng)，則20-5r=0，
∴r=4，∴常數(shù)項(xiàng)T₅=C₅⁴×=16．
又（a²+1）ⁿ展開式的各項(xiàng)系數(shù)之和等于2ⁿ．
由題意得2ⁿ=16，∴n=4．
由二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)知，（a²+1）ⁿ展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)是中間項(xiàng)T₃，
∴C₄²a⁴=54，
∴a=±．
點(diǎn)評：本題考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用和二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，解題時要注意根據(jù)實(shí)際情況靈活地運(yùn)用公式．