Question

已知函數f（x）=mx²+3（m-4）x-9，m為常數
（1）判斷函數f（x）是否存在零點，若存在指出存在幾個；
（2）若函數f（x）存在兩個零點x₁，x₂，試確定實數m的值，使兩個零點間的距離最小，并求出這個最小距離；
（3）設m＞0，當x∈[-3，-

3

2

]時，f（x）的值域為{y|0≤y≤27}，求m的值．

Answer 1

考點：根的存在性及根的個數判斷,函數的值域

專題：函數的性質及應用

分析：（1）分別討論m=0和m≠0兩種情況，利用一次函數和二次函數的零點判斷方法分別判斷零點個數；
（2）利用韋達定理，將d=|x₁-x₂|轉化為關于m的函數，利用配方法求最值即可；
（3）若x∈[-3，-

3

2

]時，f（x）的值域為{y|0≤y≤27}，則f（x）在[-3，-

3

2

]單調，由f（-3）=27，可得：f(-

3

2

)=0，進而得到m的值．

解答： 解：（1）當m=0時，f（x）=-12x-9，函數的零點為x=-

3

4

，即函數只有一個零點．
當m≠0時，△=9（m-4）²+36m=（m-2）²+12＞0，
∴函數f（x）的零點的個數為2．
故當m=0時，函數f（x）的零點的個數為1；當m≠0時，函數f（x）的零點的個數為2；
（2）若函數f（x）有兩個零點x₁，x₂，則m≠0，
x₁+x₂=

12-3m

m

，x₁•x₂=

-9

m

，
∴d=|x₁-x₂|=

(x1+x2)2-4x1•x2

=

( 12-3m m )2+ 36 m

=12

(m- 1 8 )2+ 3 64

≥12×

3 64

=

3 3

2

（m=8時取等號），
∴d=|x₁-x₂|的最小值為

3 3

2

；
（3）若x∈[-3，-

3

2

]時，f（x）的值域為{y|0≤y≤27}，
則f（x）在[-3，-

3

2

]單調，
∵f（-3）=27，
∴f(-

3

2

)=0
即-

9

4

m+9=0，解得m=4

點評：本題考查了二次函數零點判斷方法，二次方程根與系數關系的應用，不等式恒成立問題的解法及配方法求二次函數的最值，考查了數學轉化思想方法，是中檔題．