Question

設集合M={l|直線l與直線y=2x相交，且以交點的橫坐標為斜率}
（1）點（-2，2）到M中哪條直線的距離最小？
（2）設a∈R₊，點P（-2，a）到M中的直線距離的最小值記為d_min，求d_min的解析式．

Answer 1

（1）設直線l與直線y=2x相交于E（t，2t）．
則直線l的方程為：y-2t=t（x-t），化為tx-y+2t-t²=0．
點F（-2，2）到直線y=2x的距離d₁=

|-2×2-2|

5

=

6 5

5

．
點F（-2，2）到直線l的距離d₂=

|-2t-2+2t-t2|

t2+1

=

t2+2

t2+1

=

t2+1

+

1

t2+1

≥2，當且僅當t=0時取等號．
由

t2+1

+

1

t2+1

=

6

5

=

5

+

1

5

，可得

t2+1

=

5

，解得t=±2．
∴當t=±2時，d₁=d₂．
當t²＞4即t＞2或t＜-2時，d₂＞d₁．
當t²＜4即-2＜t＜2時，d₂＜d₁．
（2）a∈R⁺，點P（-2，a）到M中的直線距離d=

|-2t-a+2t-t2|

t2+1

=

t2+a

t2+1

，
令

t2+1

=m≥1，則t²=m²-1．
∴d=

m2-1+a

m

=m+

a-1

m

（m≥1）．
d′=1-

a-1

m2

=

m2-(a-1)

m2

．
①當a-1≤0即0＜a≤1時，d′＞0，d在m≥1單調遞增，當m=1時，d取得最小值，d_min=1+a-1=a．
②當a-1＞0時，令d′=0，解得m=

a-1

．
當m＞

a-1

時，d′＞0，函數d單調遞增；當1≤m＜

a-1

時，d′＞0，函數d單調遞減．
∴當m=

a-1

時，d取得最小值，d_min=

a-1

+

a-1

a-1

=2

a-1

．
綜上可知：dmin=

a，當m=1時 2 a-1 ，當m= a-1 時

．