Question

拋物線以y軸為準線，且過點M（a，b）（a≠0），證明不論M點位置如何變化，拋物線頂點的軌跡的離心率是定值．

Answer 1

分析：設定點坐標為（x₀，y₀），設拋物線方程為（y-y₀）2=2x₀x根據拋物線定義得到|a|=

(a+2x 0) 2+(y 0-b)2

化簡整理求得拋物線頂點的軌跡方程，進而求得e．

解答：證明：設定點坐標為（x₀，y₀），設拋物線方程為（y-y₀）2=2x₀x
根據拋物線定義可知|a|=

(a+2x 0) 2+(y 0-b)2

整理得

(x0- a 2 )2

a2 4

+

(y0-b)

a2

1
∴e=

3a

2 a

=

3

2

∴拋物線頂點的軌跡的離心率是定值

點評：本題主要考查了拋物線的應用．關鍵是利用了拋物線的定義．