Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，其相應于焦點F（2，0）的準線方程為x=4．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）已知過點F₁（-2，0）傾斜角為θ的直線交橢圓C于A，B兩點．
求證：|AB|=

4 2

2-cos2θ

；
（Ⅲ）過點F₁（-2，0）作兩條互相垂直的直線分別交橢圓C于點A、B和D、E，求|AB|+|DE|的最小值．

Answer 1

分析：（1）求橢圓的方程關鍵是計算a²與b²的值，由焦點F（2，0）的準線方程為x=4．不難求出a²的值，再根據c²=a²-b²可求出b²代入即可求出橢圓的方程．
（2）由橢圓的第二定義，我們可以將過焦點的弦長，轉化為直線與圓的交點到對應準線的距離，不難證明結論．
（3）由（2）的結論，我們可以分別給出|AB|，|DE|，則可將求|AB|+|DE|的最值轉化為一個三角函數問題，然后根據三角函數求最值的方法進行求解．

解答：解：（Ⅰ）由題意：

c=2 a2 c =4 c2=a2-b2

，解得a²=8，b²=4．
所求的求橢圓C的方程

x2

8

+

y2

4

=1．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，F₁（-2，0）是橢圓的右焦點，e=

2

2

．設l為橢圓的左準線，則l：x=-4．作AA₁⊥l于A₁點，BB₁⊥l于B₁點，l與x軸的交點為H．
∵點A在橢圓上，∴|AF1|=

2

2

|AA1|=

2

2

(|HF1|+|F1A|cosθ)=

2

+

2

2

|F1A|cosθ．
∴|AF1|=

2

2 -cosθ

，同理|BF1|=

2

2 +cosθ

．（其中θ為直線AB的傾斜角）．
∴|AB|=|AF1|+|BF1|=

2

2 -cosθ

+

2

2 +cosθ

=

4 2

2-cos2θ

．
（Ⅲ）設直線AB的傾斜角為θ，由于DE⊥AB，由（Ⅱ）知：|AB|=

4 2

2-cos2θ

，|DE|=

4 2

2-sin2θ

，|AB|+|DE|=

4 2

2-cos2θ

+

4 2

2-sin2θ

=

12 2

2+ 1 2 sin22θ

．
當θ=

π

4

或θ=

3π

4

時，|AB|+|DE|取得最小值

16 2

3

．

點評：本題主要考查直線的方程、橢圓的方程及幾何性質、直線和橢圓的位置關系等基礎知識、考查數形結合的數學思想以及運算能力和綜合解題能力．運用待定系數法求橢圓標準方程，即設法建立關于a，b的方程組，先定型、再定量，若位置不確定時，考慮是否兩解，有時為了解題需要，橢圓方程可設為mx²+ny²=1（m＞0，n＞0，m≠n），由題目所給條件求出m，n即可．