Question

已知函數，g（x）=x-mlnx．
（I）求函數f（x）的定義域和極值；
（II）求實數m的取值范圍，使得函數g（x）在（2，3）上恰好有兩個不同零點．

Answer 1

【答案】分析：（I）利用函數的性質，使的分母不為0，對數有意義，利用導數求其極值．
（II）函數的零點就是方程的根，轉化為f（x）的范圍，確定f（2）、f（3）的大小，確定m的范圍．
也可以在（2，3）內g（x）的極小值小于0，2和3的函數值大于0，求解即可．
解答：解：（I）f（x）的定義域是（0，1）∪（1，+∞），（2分），f'（x）=0，得x=e，（4分）
列表

當x=e時，函數f（x）取極小值f（e）=e，沒有極大值；（6分）
（II）方法1：g（x）=0，即，
由于（I）知x∈[2，3]時，f（x）的最小值是e，（8分）
，，
∵，
∴f（2）＞f（3），（10分）
∴函數g（x）在（2，3）上恰好有兩個不同零點時，實數m的取值范圍是．（12分）
方法2：當m≤0時，g（x）=x-mlnx在（2，3）上是單調遞增函數，函數g（x）在（2，3）上不可能有兩個不同零點（8分）
當m＞0時，，g（x）在（0，m）上單調遞減，在（m，+∞）上單調遞增，
∴函數g（x）在（2，3）上不可能有兩個不同零點，∴m∈（2，3）（10分）
由，
以及，
得實數m的取值范圍是．（12分）
點評：本題考查函數的定義域，零點定理的判定，導數求極值的方法，考查學生發現問題解決問題的能力，是中檔題．