Question

已知函數g(x)=sin(x+

π

6

)，f(x)=2cosx•g(x)-

1

2

（1）求函數f（x）的最小正周期及其對稱中心坐標；
（2）當x∈[0，

π

2

]時，求函數f（x）的值域；
（3）由y=sinx可以按照如下變換得到函數y=f（x），y=sinx

①

y=sin(x+

π

6

)

②

y=sin(2x+

π

6

)，寫出①②的過程．

Answer 1

分析：利用兩角和與差的三角函數以及二倍角公式化簡函數的表達式為一個角的一個三角函數的形式．
（1）直接求函數f（x）的最小正周期及其對稱中心坐標；
（2）通過x∈[0，

π

2

]，求出相位的范圍，利用三角函數的值域求函數f（x）的值域；
（3）由y=sinx可以按照如下變換得到函數y=f（x），y=sinx

①

y=sin(x+

π

6

)

②

y=sin(2x+

π

6

)，利用利用左加右減的原則，寫出變換過程即可．

解答：解：函數g(x)=sin(x+

π

6

)，f(x)=2cosx•g(x)-

1

2

=

3

2

sin2x+

1

2

cos2x=sin（2x+

π

6

）．
（1）函數f（x）的最小正周期T=π，因為2x+

π

6

=kπ，所以對稱中心坐標(

kπ

2

-

π

12

，0)．k∈Z．
（2）x∈[0，

π

2

]，2x+

π

6

∈[

π

6

，

7π

6

]，所以sin（2x+

π

6

）∈[-

1

2

，1]．
函數f（x）的值域[-

1

2

，1]，
（3）由y=sinx可以按照如下變換得到函數y=f（x），y=sinx

①

y=sin(x+

π

6

)

②

y=sin(2x+

π

6

)，
①函數的圖象向左平移

π

6

，②函數圖象縱坐標不變，橫坐標縮短為原來的

1

2

．

點評：本題考查三角函數的化簡求值，兩角和與差的三角函數，三角函數的圖象與性質，函數的圖象的變換，基本知識的考查．