Question

（2006•浦東新區一模）已知函數f(x)=x+log3

x+2

a-x

為奇函數．
（1）求實數a的值；
（2）函數g（x）的圖象由函數f（x）的圖象先向右平移2個單位，再向上平移2個單位得到，寫出g（x）的對稱中心坐標，若g（b）=1，求g（4-b）的值；
（3）若（2）中g（x）的圖象與直線x=1，x=3及x軸所圍成的封閉圖形的面積為S，求S的值．

Answer 1

分析：（1）由f（x）為奇函數可得f（-x）=-f（x）對定義域內一切x均成立且函數的定義域關于原點對稱．
方法一：利用奇函數的定義域關于原點對稱可求a
方法二：一般式方法，-x+log3

-x+2

a+x

=-x-log3

x+2

a-x

x²-a²=x²-4可求a
（2）由（1）可知，函數f（x）關于原點（0，0）對稱 函數g（x）的對稱中心為P（2，2），利用對稱可求 g（x）+g（4-x），利用該性質可得當g（b）=1時，g（4-b）=4-g（b）
（3）由對稱性可知，函數y=g（x）的圖象與直線x=1，x=3及x軸所圍成封閉圖形的面積S，由
f(1)=1+log3

1

3

=0，f（3）=3+log₃3=4，從而可求S

解答：解：（1）因為f（x）為奇函數，所以f（-x）=-f（x）對定義域內一切x均成立且函數的定義域關于原點對稱．
方法一：由題意可得，

x+2

a-x

＞0，結合奇函數的定義域關于原點對稱性可得a=2（4分）
方法二：一般式方法，-x+log3

-x+2

a+x

=-x-log3

x+2

a-x

x²-a²=x²-4，得到a=2（4分）
（2）由（1）可知，函數f（x）關于原點（0，0）對稱 （5分）
則函數g（x）的對稱中心為P（2，2）（7分）
所以 g（x）+g（4-x）=4（9分）
當g（b）=1時，g（4-b）=4-g（b）=3（11分）
（3）f(1)=1+log3

1

3

=0，f（3）=3+log₃3=4（14分）
由對稱性可知，函數y=g（x）的圖象與直線x=1，x=3及x軸所圍成封閉圖形的面積S
S=

1

2

×(3-1)×4=4（16分）

點評：本題主要考查了奇函數的定義及性質的應用，函數的對稱性的應用，函數的圖象的平移等性質 的綜合應用，解題的關鍵是靈活利用函數的性質．