Question

一條河寬1千米，兩岸各有一座城市A與B，A與B的直線距離是4千米，今需鋪設一條要電纜線連接A與B．已知地下電纜的修建費是2萬元/千米，水下電纜的修建費是4萬元/千米，假設河兩岸是平行的直線（沒有彎曲），問應如何鋪設電纜方可使總施工費用最少？

Answer 1

解：如題圖所示，AD是水下電纜，DB是地下電纜.作AC⊥BD，AC=1，AB=4，則BC=，設∠CAD=θ，則θ∈(0，arccos).?∵AD= =secθ，BD=BC-CD=-tanθ，依題意，由A、B鋪設電纜的總費用為y=4secθ+2（-tanθ）=+2.?設μ=（μ＞0），則2sinθ+μcosθ=4.?∴sin（θ+φ）=φ=arctan.∵ sin（θ+φ）≤1.?∴≥4，解得μ≥2.?∴y_min=2+2.?此時φ=arctan=，θ=，BD=-.?因此，水下電纜應從距B城(-)千米處向A城鋪設，總施工費用最少.