Question

如圖，長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，DA=DC=2，DD1=

3

，E是C₁D₁的中點，F是CE的中點．
（1）求證：EA∥平面BDF；
（2）求證：平面BDF⊥平面BCE；
（3）求二面角D-EB-C的正切值．

Answer 1

分析：（1）連接AC交BD于O點，連接OF，欲證EA∥平面BDF，在平面BDF內尋找一直線與直線EA平行即可，而OF是△ACE的中位線，OF∥AE，又AE?平面BDF，OF?平面BDF，滿足定理條件；
（2）欲證平面BDF⊥平面BCE，找線面垂直，根據線面垂直的判定定理可知DF⊥平面BCE，又DF?平面BDF，從而得到結論；
（3）由（2）知DF⊥平面BCE，過F作FG⊥BE于G點，連接DG，則DG在平面BCE中的射影為FG，則∠DGF即為二面角D-EB-C的平面角，在三角形DGF中求出此角的正切值即可．

解答：解：（1）連接AC交BD于O點，連接OF，可得OF是△ACE的中位線，OF∥AE，
又AE?平面BDF，OF?平面BDF，所以EA∥平面BDF（4分）；
（2）計算可得DE=DC=2，又F是CE的中點，所以DF⊥CE
又BC⊥平面CDD₁C₁，所以DF⊥BC，又BC∩CE=C，所以DF⊥平面BCE
又DF?平面BDF，所以平面BDF⊥平面BCE（理）（8分）；
（3）由（2）知DF⊥平面BCE，過F作FG⊥BE于G點，連接DG，則DG在平面BCE中的射影為FG，從而DG⊥BE，所以∠DGF即為二面角D-EB-C的平面角，設其大小為θ，計算得DF=

3

，FG=

2

2

，tanθ=

DF

FG

=

6

（12分）

點評：考查線面平行的判定以及線面角的求法，利用線面垂直證線線垂直，求二角角，本題考查的是立幾中的重點知識，基本技能．