Question

【題目】已知函數.

（1）討論函數的單調性；

（2）當時，證明：對任意的，有.

Answer 1

【答案】（1）詳見解析（2）詳見解析

【解析】試題分析：（1）求導，通過討論導函數的零點的大小確定導函數的符號，進而確定函數的單調性；（2）將問題合理等價轉化為證明不等式恒成立問題，再轉化為求函數的最值問題，證明即可.

試題解析：（1）由題意知：

當時，由，得且，

， ，

①當時， 在上單調遞增，在上單調遞減；

②當時， 在上單調遞增，在上單調遞減；

③當時， 在上單調遞增；

④當時， 在和上單調遞增，在上單調遞減.

（2）當時，要證： 在上恒成立，

只需證： 在上恒成立，

令， ，

因為，

易得在上遞增，在上遞減，故，

由得

當時， ；當時，

所以在上遞減，在上遞增

所以

又，∴，即，

所以在上恒成立，

故當時，對任意的， 恒成立.