Question

【題目】已知點(diǎn)，橢圓：的離心率為，是橢圓的焦點(diǎn)，直線的斜率為，為坐標(biāo)原點(diǎn).

(Ⅰ)求的方程；

（Ⅱ）設(shè)過點(diǎn)的直線與相交于兩點(diǎn)，當(dāng)的面積最大時(shí)，求的方程.

Answer 1

【答案】(Ⅰ) （Ⅱ） 或.

【解析】

試題分析：(Ⅰ)利用離心率及頂點(diǎn)A的坐標(biāo)可求得橢圓中值，從而確定橢圓方程；（Ⅱ）將直線方程與橢圓方程聯(lián)立，轉(zhuǎn)化為關(guān)于x的二次方程，結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系可得到的面積的表達(dá)式，通過基本不等式可求得面積的最值及此時(shí)的直線方程

試題解析：(Ⅰ) 設(shè)，由條件知，得 又，

所以a=2， ,故的方程. ………4分

（Ⅱ）依題意當(dāng)軸不合題意，故設(shè)直線l：，設(shè)

將代入，得，

當(dāng)，即時(shí)，

從而 …………………………7分

又點(diǎn)O到直線PQ的距離，…………………………8分

所以OPQ的面積，…………………………9分

設(shè)，則，，

當(dāng)且僅當(dāng)，等號(hào)成立，且滿足，所以當(dāng)OPQ的面積最大時(shí)，的方程為： 或. …………………………12分