Question

已知函數(shù)f（x）的定義域為R，對任意s，t∈R都有f（s+t）=f（s）+f（t），且對任意x＞0，都有f（x）＜0，且已知f（3）=-3．
（1）求證：f（x）是R上的單調(diào)遞減函數(shù)；
（2）求證：f（x）是奇函數(shù)；
（3）求f（x）在[m，n]（m，n∈Z且m＞0）上的值域．

Answer 1

分析：（1）在R任取x₁，x₂，且x₁＜x₂，則由條件可得f（x₂）-f（x₁）=f（x₂-x₁）．再由x₂-x₁＞0，可得f（x₂-x₁）＜0，故f（x₂）-f（x₁）＜0，從而得f（x）是R上的單調(diào)遞減函數(shù)．
（2）令s=t=0，可得f（0）=0．再由f（0）=f（x）+f（-x）=0，可得f（x）+f（-x）=0，從而得到f（x）是奇函數(shù)．
（3）由f（x）在[m，n]上也為減函數(shù)，可得f（x）在[m，n]上的最大值為f（m），最小值為f（n）．求得f（m）=mf（1），f（n）=nf（1），結合已知f（3）=-3，可得得f（1）=-1，故有f（n）=-n，f（m）=-m，從而求得函數(shù)的值域．

解答：解：（1）在R任取x₁，x₂，且x₁＜x₂，則f（x₂）=f[（x₂-x₁）+x₁]=f（x₂-x₁）+f（x₁），…（1分）
∴f（x₂）-f（x₁）=f（x₂-x₁）．…（2分）
∵x₂-x₁＞0，∴f（x₂-x₁）＜0，…（3分）∴f（x₂）-f（x₁）＜0，即f（x₂）＜f（x₁），∴f（x）是R上的單調(diào)遞減函數(shù)． …（4分）
（2）令s=t=0，則f（0）=f（0）+f（0），∴f（0）=0．…（5分）
又令s=x，t=-x，則f（0）=f（x）+f（-x），∴f（x）+f（-x）=0，…（6分）
∴f（-x）=-f（x），∴f（x）是奇函數(shù)．…（7分）
（3）∵f（x）是R上的單調(diào)遞減函數(shù)，∴f（x）在[m，n]上也為減函數(shù)，…（8分）
∴f（x）在[m，n]上的最大值為f（m），最小值為f（n）．…（9分）
又m，n∈Z，∴f（m）=f[1+（m-1）]=f（1）+f（m-1）=2f（1）+f（m-2）=…=mf（1）．
同理f（n）=nf（1），…（11分）
已知f（3）=-3得f（3）=3f（1）=-3，∴f（1）=-1，…（12分）∴f（n）=-n，f（m）=-m，…（13分）
所以，函數(shù)的值域為[-n，-m]．…（14分）

點評：本題主要考查抽象函數(shù)的應用，函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性的應用，屬于中檔題．