Question

．（本小題滿分14分）
已知數(shù)列，，其中是方程的兩個根.
（1）證明：對任意正整數(shù)，都有；
（2）若數(shù)列中的項都是正整數(shù)，試證明：任意相鄰兩項的最大公約數(shù)均為1；
（3）若，證明：。

Answer 1

證明：（1）是方程的兩個根，
故對任意正整數(shù)，

故；
（2）由（1）與更相減損術(shù)可得：對任意正整數(shù)，

故命題成立；
（3）是方程的兩個根且，故
由可得：


故

略