Question

已知C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)橢圓具有性質：若M，N是橢圓上關于原點O對稱的兩點，點P是橢圓上任意一點，當直線PM，PN的斜率都存在，并記為k_PM，k_PN時，那么k_PM與k_PN之積是與點P的位置無關的定值，試寫出雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1具有類似特性的性質并加以證明．

Answer 1

分析：設出M和N的坐標，代入雙曲線的方程，設點P的坐標，進而表示出PM，PN的斜率，求得兩斜率之積．把點P的坐標代入雙曲線方程表示出y和n，代入PM，PN斜率之積得表達式求得結果為常數，故可推斷出k_PM•k_PN與點P的位置無關的定值．

解答：解：可以通過橫向類比得：若M，N是上述雙曲線上關于原點O對稱的兩點，
點P是雙曲線上任意一點，當直線PM，PN的斜率都存在，并記為k_PM，k_PN時，
那么k_PM與k_PN之積是與點P的位置無關的定值．
下面給出嚴格的證明：
設點M（m，n），則N（-m，-n），其中

m2

a2

-

n2

b2

=1，又設點P的坐標
為P（x，y），則kPM=

y-n

x-m

，kPN=

y+n

x+m

，kPM•kPN=

y2-n2

x2-m2

，
注意到

m2

a2

-

n2

b2

=1，點P（x，y）在雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1上，
故y2=b2(

x2

a2

-1)，n2=b2(

m2

a2

-1)，
代入kPM•kPN=

y2-n2

x2-m2

可得：kPM•kPN=

b2 a2 (x2-m2)

x2-m2

=

b2

a2

（常數），
即k_PM•k_PN與點P的位置無關的定值

點評：本題主要考查了橢圓的應用，考查了學生綜合分析問題和解決問題的能力．