Question

（2007•武漢模擬）已知直線l：y=2x-

3

與橢圓C：

x2

a2

+y²=1 （a＞1）交于P、Q兩點，以PQ為直徑的圓過橢圓C的右頂點A．
（1）設PQ中點M（x₀，y₀），求證：x₀＜

3

2

（2）求橢圓C的方程．

Answer 1

分析：（1）設出交點坐標，再聯立直線與橢圓的方程并且整理可得：（4a²+1）x²-4

3

a²x+2a²=0，再利用根與系數的關系表示出中點的橫坐標，進而得到答案．
（2）由題意可得：

PA

•

QA

=0，即（x₁-a）（x₂-a）+y₁y₂=0，因為點在直線上，所以可得5x1x2-(a+2

3

)(x1+x2)+a2+3=0，再由（1）可得關于a的方程，進而結合題意求出a的值．

解答：解：（1）設直線與橢圓交于P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）兩點，由題意可得：右頂點A（a，0），
將y=2x-

3

代入x²+a²y²-a²=0中整理得（4a²+1）x²-4

3

a²x+2a²=0，
所以根據根與系數

x1+x2=  4 3 a2 4a2+1 ① x1x2=  2a2 4a2+1 ②

，
∵M（x₀，y₀）為PQ中點，
∴x₀=

x1+x2

2

=

2 3 a2

4a2+1

=

3

2

-

3

2(4a2+1)

，
所以x₀＜

3

2

（2）因為以PQ為直徑的圓過橢圓C的右頂點A，
所以

PA

•

QA

=0，即（x₁-a）（x₂-a）+y₁y₂=0，
 又因為y₁=2x₁-

3

，y₂=2x₂-

3

所以（x₁-a）（x₂-a）+（2x₁-

3

）（2x₂-

3

）=0，
整理可得：5x1x2-(a+2

3

)(x1+x2)+a2+3=0，…③
 將①②代入③得：4a⁴-4

3

a³-a²+3=0
∴（a-

3

）（4a²-a-

3

）=0，
∵a＞1，則4a²-a-

3

＞0，
所以a=

3

所以橢圓方程為

x2

3

+y²=1．

點評：本題主要考查橢圓標準方程與幾何性質，以及直線與橢圓的位置關系，并且考查學生運算能力與分析問題解決問題的能力．