Question

如圖，開發商欲對邊長為1km的正方形ABCD地段進行市場開發，擬在該地段的一角建設一個景觀，需要建一條道路EF（點E、F分別在BC、CD上），根據規劃要求△ECF的周長為2km．
（1）設∠BAE=α，∠DAF=β，試求α+β的大小；
（2）欲使△EAF的面積最小，試確定點E、F的位置．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據規劃要求△ECF的周長為2km，建立等式，再利用和角的正切公式，即可求得α+β的大小；
（2）先表示三角形的面積，再利用三角函數求面積的最值，從而可確定點E、F的位置．
解答：解：（1）設CE=x，CF=y（0＜x≤1，0＜y≤1），則tanα=1-x，tanβ=1-y，
由已知得：x+y+，即2（x+y）-xy=2…（4分）
∴tan（α+β）===1
∵0＜α+β，∴α+β=；…（8分）
（2）由（1）知，S_△EAF==AE×AF==
==…（12分）
∵，∴2α=，即α=時，△EAF的面積最小，最小面積為-1．
∵tan=，∴tan=-1，故此時BE=DF=-1．
所以，當BE=DF=-1時，△EAF的面積最小．…（15分）
點評：本題考查三角函數知識的運用，考查和角公式的運用，考查面積的最值，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．