Question

【題目】已知數列的前項和為，對任意的正整數，都有成立．

（1）求證：存在實數使得數列為等比數列；

（2）求數列的前項和．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析（2）

【解析】

試題分析：（1）證明等比數列，基本方法為等比數列定義，先利用和項與通項關系得，再變形得，可證數列是首項為3，公比為3的等比數列，因此（2）由（1）得，，因此數列的前項和，先分成兩組，一組為等差數列求和，另一組需利用錯位相減法求和：注意項的符號變化、項的個數、最后結果形式，最好代入驗證所求結果．

試題解析：（1）當時，，可得，

由得，

兩式相減，得，即，．

可得，而，

所以數列是首項為3，公比為3的等比數列，

所以存在實數，使得數列為等比數列

（2）由（1）得，

即，

所以，

令，

則，

兩式相減得，

所以．