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設的所有排列的集合為；，記

，；求．（其中表示集合的元素個數）．


解析:

：我們一般地證明，若，對于前個正整數的所有排列構成的集合，若，，則．

下面用數學歸納法證明：．

當時，由排序不等式知，集合中的最小元素是，最大元素是

．又，，

，

，所以，=共有11=個元素．因此，時命題成立．假設命題在（）時成立；考慮命題在時的情況．對于的任一排列，恒取，得到的一個排列，

則．由歸納假設知，此時取遍區間

上所有整數．

再令，則，

再由歸納假設知，取遍區間

上的所有整數．

因為，所以，取遍區間

上的所有整數．即命題對也成立．由數學歸納法知，命題成立．

由于  ，從而，集合

的元素個數為．特別是，當時，．

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

已知二次函數f（t）=at2-
b
t+
1
4a
（t∈R）有最大值，且最大值為正實數，集合A={x|
x-a
x
＜0}，集合B={x|x2＜b2}
（1）求集合A和B；
（2）定義：“A-B={x∈A，且x∉B}”設a，b，x均為整數，且x∈A．記P（E）為x取自集合A-B的概率，P（F）x取集合A∩B的概率．已知P（E）=
2
3
，P（F）=
1
3
．記滿足上述條件的所有a的值從小到大排列構成的數列為{an}，所有b的值從小到大排列構成數列{bn}．
①求a1，a2，a3和b1，b2，b3；
②請寫出數列{an}和{bn}的通項公式（不必證明）；
③如果在函數中f（t）中，a=an，b=bn，記f（t）的最大值為g（n），cn=
1-12g(n)
4g(n)
，Sn=c1c2+c2c3+…+cncn+1，求證：Sn＜1．

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科目：高中數學 來源： 題型：

設{an}是集合{2s+2t|0≤s＜t，且s，t∈Z}中所有的數從小到大排列成的數列，即a1=3，a2=5，a3=6，a4=9，a5=10，a6=12…，將數列{an}中各項按照上小下大，左小右大的原則排成如下等腰直角三角形數表：
3
5   6
9   10   12
…
則第四行四個數分別為
 
；且a2012=
 
（用2s+2t形式表示）．

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科目：高中數學 來源： 題型：

（Ⅰ）設｛an｝是集合中所有的數從小到大排列成的數列，即a1＝3，a2＝5，a3＝6，a4＝9，a5＝10，a6＝12，……

將數列｛an｝各項按照上小下大，左小右大的原則寫成如下的三角形數表：

（i）寫出這個三角形數表的第四行、第五行各數;

（ii）求a100．

（Ⅱ）（本小題為附加題，如果解答正確，加4分，但全卷總分不超過150分）

設｛bn｝是集合中所有的數從小到大排列成的數列，已知bk =1160，求k．

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科目：高中數學 來源： 題型：

22.（Ⅰ）設｛an｝是集合｛2t+2s|0≤s＜t，且s，tZ｝中所有的數從小到大排列成的數列，即a1=3，a2=5，a3=6，a4=9，a5=10，a6=12，…….

將數列｛an｝各項按照上小下大，左小右大的原則寫成如下的三角形數表：

（ⅰ）寫出這個三角形數表的第四行、第五行各數；

（ⅱ）求a100.

（Ⅱ）（本小題為附加題）

設｛bn｝是集合｛2t+2s+2r|0≤r<s<t，且r，s，tZ｝中所有的數從小到大排列成的數列.

已知bk=1160，求k.

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同步練習冊答案
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