Question

22.（Ⅰ）設｛a_n｝是集合｛2^t+2^s|0≤s＜t，且s，tZ｝中所有的數從小到大排列成的數列，即a₁=3，a₂=5，a₃=6，a₄=9，a₅=10，a₆=12，…….

將數列｛a_n｝各項按照上小下大，左小右大的原則寫成如下的三角形數表：

（ⅰ）寫出這個三角形數表的第四行、第五行各數；

（ⅱ）求a₁₀₀.

（Ⅱ）（本小題為附加題）

設｛b_n｝是集合｛2^t+2^s+2^r|0≤r<s<t，且r，s，tZ｝中所有的數從小到大排列成的數列.

已知b_k=1160，求k.

Answer 1

22.

（Ⅰ）解：（ⅰ）第四行        17           18           20           24

                             第五行         33           34           36           40           48

 

（ⅱ）解法一：設a₁₀₀=+，只須確定正整數t₀，s₀.

 

數列｛a_n｝中小于的項構成的子集為｛2^t+2^s|0≤s<t< t₀｝，

 

其元素個數為=，

依題意       ＜100.

 

滿足上式的最大整數t₀為14，所以取t₀＝14.

 

因為100－＝s₀+1，由題意得s₀＝8.

 

∴a₁₀₀＝2¹⁴＋2⁸＝16640.

 

 

解法二：n為a_n的下標.

三角形數表第一行第一個元下標為1，

第二行第一個元下標為＋1＝2，……

第t行第一個元下標為＋1，第t行第s個元下標

 

為＋s，該元等于2^t+2^s－1.

 

據此判斷a₁₀₀所在的行.

 

因為＜100≤，所以a₁₀₀是三角形數表第14行的第9個元

 

a₁₀₀＝2¹⁴＋2^9－1＝16640.

 

 

（Ⅱ）（本小題為附加題）

解：b_k=1160=2¹⁰+2⁷+2³，

令M＝｛cB|c<1160｝(其中，B＝｛2^t+2^s+2^r|0≤r<s<t｝)，

 

因M=｛cB |c<2¹⁰｝∪｛cB |2¹⁰<c<2¹⁰+2⁷｝∪｛cB |2¹⁰+2⁷<c<2¹⁰+2⁷+2³｝.

 

現在求M的元素個數：｛cB｜c<2¹⁰｝=｛2^t+2^s+2^r|0≤r<s<t<10｝，其元素個數為；

 

｛cB |2¹⁰<c<2¹⁰+2⁷｝=｛2¹⁰+2^s+2^r|0≤r<s<7｝，其元素個數為；

 

｛cB｜2¹⁰+2⁷<c<2¹⁰+2⁷+2³｝=｛2¹⁰+2⁷+2^r |0≤r<3｝，其元素個數為.

k=+++1=145.