Question

求下列函數的定義域、值域及單調性．
（1）y=（）6+x-2x²；
（2）y=（）^-|x|．

Answer 1

【答案】分析：（1）由題令u=6+x-2x²，則y=（）^u．則函數為單調遞減的指數函數，u為二次函數，則求出u的最大值得到y的最小即可求出值域，定義域為R，u的對稱軸求出，在對稱軸左邊函數增函數，右邊為減函數，在根據復合函數求出y的單調區間即可；
（2）y為指數函數定義域為R，且為單調遞減，|x|最小值為0，分x大于0，小于0，等于0以及y為偶函數討論函數的單調區間即可．
解答：解：（1）函數的定義域為R，
令u=6+x-2x²，則y=（）^u．
∵二次函數u=6+x-2x²=-2（x-）²+，
∴函數的值域為{y|y≥（）}．
又∵二次函數u=6+x-2x²的對稱軸為x=，
在[，+∞）上u=6+x-2x²是減函數，
在（-∞，]上是增函數，又函數y=（）^u是減函數，
∴y=（）6+x-2x²在[，+∞）上是增函數，
在（-∞，]上是減函數．
（2）定義域為x∈R．
∵|x|≥0，∴y=（）^-|x|=（）^|x|≥（）=1．
故y=（）^-|x|的值域為{y|y≥1}．
又∵y=（）^-|x|是偶函數，
且y=（）^-|x|=所以函數y=（）^-|x|在（-∞，0]上是減函數，在[0，+∞）上是增函數．
點評：考查函數理解函數定義域即求法的能力，以及掌握指數函數的單調性與特殊點，求指數函數的定義域和值域的能力．