Question

已知a、b均為正實(shí)數(shù)，且a+b=1，求y=(a+

1

a

)(b+

1

b

)的最小值．

Answer 1

分析：因?yàn)閍、b均為正實(shí)數(shù)，且a+b=1，y=(a+

1

a

)(b+

1

b

)進(jìn)行因式相乘，將其化為y=（ab+

1

ab

）+（

b

a

+

a

b

）再利用均值不等式進(jìn)行放縮求y的最小值；

解答：解：y=(a+

1

a

)(b+

1

b

)
=（ab+

1

ab

）+（

b

a

+

a

b

）≥（ab+

1

ab

）+2
=（

ab

+

1

ab

）²=（4

ab

+

1

ab

-3

ab

）²
≥（2

4 ab • 1 ab

-3×

a+b

2

）²
=（4-

3

2

）²=

25

4

當(dāng)且僅當(dāng)a=b=

1

2

時(shí)，y=（a+

1

a

）（b+

1

b

）取最小值，最小值為

25

4

；

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查均值不等式的應(yīng)用，利用均值不等式放縮時(shí)，要注意取等號(hào)的條件，是一道基礎(chǔ)題；