Question

一列火車從重慶駛往北京，沿途有n個車站（包括起點站重慶和終點站北京）．車上有一郵政車廂，每停靠一站便要卸下火車已經過的各站發往該站的郵袋各1個，同時又要裝上該站發往以后各站的郵袋各1個，設從第k站出發時，郵政車廂內共有郵袋a_k個（k=1，2，…，n）．
（I）求數列{a_k}的通項公式；
（II）當k為何值時，a_k的值最大，求出a_k的最大值．

Answer 1

解：（I）a₁=n-1，考察相鄰兩站a_k，a_k-1之間的關系，
由題意知a_k=a_k-1-（k-1）+（n-k），
∴a_k-a_k-1=（n+1）-2k（k≥2）．
依次讓k取2，3，4，…，k得k-1個等式，
將這k-1個等式相加，得
a_k=nk-k²（n，k∈N⁺，1≤k≤n）．
（II），
當n為偶數時，
取k=，a_k取得最大值；
當n為奇數時，取k=或，
a_k取得最大值．
分析：（I）a₁=n-1，由題意知a_k=a_k-1-（k-1）+（n-k），所以a_k-a_k-1=（n+1）-2k（k≥2）．由此能求出數列{a_k}的通項公式．
（II），再由n的奇偶性分類討論求解a_k的最大值．
點評：本題考查二次函數的性質和應用，解題時要認真審題，仔細解答，注意數列的性質和應用．