Question

（2006•重慶一模）一列火車從重慶駛往北京，沿途有n個(gè)車站（包括起點(diǎn)站重慶和終點(diǎn)站北京）．車上有一郵政車廂，每停靠一站便要卸下火車已經(jīng)過(guò)的各站發(fā)往該站的郵袋各1個(gè)，同時(shí)又要裝上該站發(fā)往以后各站的郵袋各1個(gè)，設(shè)從第k站出發(fā)時(shí)，郵政車廂內(nèi)共有郵袋a_k個(gè)（k=1，2，…，n）．
（I）求數(shù)列{a_k}的通項(xiàng)公式；
（II）當(dāng)k為何值時(shí)，a_k的值最大，求出a_k的最大值．

Answer 1

分析：（I）a₁=n-1，由題意知a_k=a_k-1-（k-1）+（n-k），所以a_k-a_k-1=（n+1）-2k（k≥2）．由此能求出數(shù)列{a_k}的通項(xiàng)公式．
（II）ak=-(k-

n

2

)2+

n2

4

，再由n的奇偶性分類討論求解a_k的最大值．

解答：解：（I）a₁=n-1，考察相鄰兩站a_k，a_k-1之間的關(guān)系，
由題意知a_k=a_k-1-（k-1）+（n-k），
∴a_k-a_k-1=（n+1）-2k（k≥2）．
依次讓k取2，3，4，…，k得k-1個(gè)等式，
將這k-1個(gè)等式相加，得
a_k=nk-k²（n，k∈N⁺，1≤k≤n）．
（II）ak=-(k-

n

2

)2+

n2

4

，
當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，
取k=

n

2

，a_k取得最大值

n2

4

；
當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，取k=

n-1

2

或

n+1

2

，
a_k取得最大值

n2-1

4

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)和應(yīng)用，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意數(shù)列的性質(zhì)和應(yīng)用．