Question

（2006•重慶一模）已知函數f(x)=a(2cos2

x

2

+sinx)+b．
（I）當a=1時，求函數f （x）的單調遞增區間；
（Ⅱ）當a＜0且x∈[0，π]時，函數f （x）的值域是[3，4]，求a+b的值．

Answer 1

分析：把函數解析式括號中的第一項利用二倍角的余弦函數公式化簡，再利用兩角和與差的正弦函數公式及特殊角的三角函數值化為一個角的正弦函數，
（I）把a=1代入化簡后的函數解析式中，根據正弦函數在[2kπ-

π

2

，2kπ+

π

2

]時單調遞增，列出關于x的不等式，求出不等式的解集即為函數的單調遞增區間；
（II）由x的范圍，求出這個角的范圍，根據正弦函數的圖象與性質得到正弦函數的值域，根據a小于0，由正弦函數的最大值及最小值表示出函數的最大值及最小值，得到關于a與b的方程組，求出方程組的解集得到a與b的值，進而求出a+b的值．

解答：解：f(x)=a(2cos2

x

2

+sinx)+b
=a（cosx+1+sinx）+b
=

2

asin（x+

π

4

）+a+b，（2分）
（I）當a=1時，f（x）=

2

asin（x+

π

4

）+1+b，
∴當2kπ-

π

2

≤x+

π

4

≤2kπ+

π

2

（k∈Z）時，f（x）是增函數，
解得：2kπ-

3

4

≤x≤2kπ+

π

4

（k∈Z），
則函數f（x）的單調遞增區間為[2kπ-

3π

4

，2kπ+

π

4

]（k∈Z）；（7分）
（II）由0≤x≤π，得到

π

4

≤x+

π

4

≤

5π

4

，
∴-

2

2

≤sin（x+

π

4

）≤1，（9分）
∵a＜0，∴當sin（x+

π

4

）=1時，f（x）取最小值，即

2

a+a+b=3①，
當sin（x+

π

4

）=-

2

2

時，f（x）取最大值4，即b=4，
將b=4代入①式，解得a=1-

2

，
則a+b=5-

2

．（13分）

點評：此題考查了二倍角的余弦函數公式，兩角和與差的正弦函數公式，正弦函數的定義域與值域，以及正弦函數的單調性，利用三角函數的恒等變換把函數解析式化為一個角的正弦函數是解本題的關鍵．