Question

已知動點P（x，y）到點F（0，1）與到直線y=-1的距離相等，
（1）求點P的軌跡L的方程；
（2） 若正方形ABCD的三個頂點A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x₃，y₃）（x₁＜0≤x₂＜x₃）在（1）中的曲線L上，設BC的斜率為k，l=|BC|，求l關于k的函數解析式l=f（k）；
（3）求（2）中正方形ABCD面積S的最小值．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用拋物線的定義得到點P的軌跡是拋物線；利用拋物線的方程寫出軌跡方程．
（2）利用直線方程的點斜式設出直線AB，BC，將兩直線方程分別于拋物線聯立；利用韋達定理及弦長公式表示出AB，BC；由正方形的邊長相等，得到斜率與坐標的關系，代入BC中，得到函數解析式l=f（k）．
（3）求面積的最小值即求BC的最小值，利用基本不等式求出正方形邊長的最小值．
解答：解：（1）由題設可得動點P的軌跡方程為x²=4y．（4分）
（2）由（1），可設直線BC的方程為：（k＞0），，
易知x₂、x₃為該方程的兩個根，故有x₂+x₃=4k，得x₃=4k-x₂，
從而得（6分）
類似地，可設直線AB的方程為：，
從而得，（8分）
由|AB|=|BC|，得k²•（2k-x₂）=（2+kx₂），
解得，（k＞0）．（10分）
（3）因為，（12分）
所以S=l²≥32，即S的最小值為32，
當且僅當k=1時取得最小值．（14分）
點評：本題考查求曲線軌跡方程的常用方法：定義法；考查直線與圓錐曲線的位置關系常用的處理方法是將方程聯立用韋達定理，考查直線與圓錐曲線相交得到的弦長公式；利用基本不等式求函數最值需滿足：一正、二定、三相等．