Question

已知|

a

|=

2

，|

b

|=3，

a

與

b

的夾角為45°，當(dāng)

a

+λ

b

與λ

a

+

b

的夾角為銳角時(shí)，求λ的取值范圍．

Answer 1

分析：兩個(gè)向量夾角為銳角等價(jià)于它們的數(shù)量積大于零且不共線，本題λ=±1時(shí)，

a

+λ

b

與λ

a

+

b

共線，∴λ≠±1，再解不等式（

a

+λ

b

）•（λ

a

+

b

）＞0即可得λ的取值范圍

解答：解：（1）當(dāng)λ：1=1：λ，即λ=±1時(shí)，

a

+λ

b

與λ

a

+

b

共線，∴λ≠±1．
（2）若

a

+λ

b

與λ

a

+

b

夾角為為銳角時(shí)，
（

a

+λ

b

）•（λ

a

+

b

）=|

a

+λ

b

|•|λ

a

+

b

|•cosθ＞0且λ≠±1，
∵

a

²=2，

b

²=9，

a

•

b

=|

a

|•|

b

|•cos45°=3，∴3λ²+11λ+3＞0，
∴λ＜

-11- 85

6

或λ＞

-11+ 85

6

（λ≠1）．
綜上：λ∈（-∞，

-11- 85

6

）∪（

-11+ 85

6

，1）∪（1，+∞）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了向量數(shù)量積運(yùn)算的性質(zhì)，夾角公式，解題時(shí)要善于將幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題，準(zhǔn)確運(yùn)算．