Question

【題目】已知圓的圓心為，直線(xiàn).

(1)求圓心的軌跡方程；

(2)若，求直線(xiàn)被圓所截得弦長(zhǎng)的最大值；

(3)若直線(xiàn)是圓心下方的切線(xiàn)，當(dāng)在上變化時(shí)，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）.

【解析】試題分析：（1）由圓的方程，可得圓的圓心坐標(biāo)為，即可得到圓心的軌跡方程；

（2）將圓的方程轉(zhuǎn)化為圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，得到圓心坐標(biāo)和半徑，再求得圓心到直線(xiàn)的距離，由圓的弦長(zhǎng)公式，得到弦長(zhǎng)的函數(shù)關(guān)系式，即可求解弦長(zhǎng)的最大值；

（3）由直線(xiàn)與圓相切，建立與的關(guān)系，，在由點(diǎn)在直線(xiàn)的上方，去掉絕對(duì)值，將轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)求解即可.

試題解析：

（1）圓的圓心坐標(biāo)為.

所以圓心的軌跡方程為.

(2)已知圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是.

則圓心的坐標(biāo)是，半徑為.

直線(xiàn)的方程化為：，則圓心到直線(xiàn)的距離是，

設(shè)直線(xiàn)被圓所截得弦長(zhǎng)為，由圓弦長(zhǎng)、圓心距和圓的半徑之間關(guān)系是：

，

∵，∴當(dāng)時(shí)，的最大值為.

(3)因?yàn)橹本�(xiàn)與圓相切，則有.

即.

又點(diǎn)在直線(xiàn)上方，∴，即，

∴，∴.

∵，∴，

∴.