Question

【題目】如圖所示的多面體中，EA⊥平面ABC，DB⊥平面ABC，AC⊥BC，CM⊥AB，垂足為M，且AE＝AC＝2，BD＝2BC＝4，

（1）求證：CM⊥ME；

（2）求二面角A﹣MC﹣E的余弦值．

（3）在線段DC上是否存在一點N，使得直線BN∥平面EMC，若存在，求出的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）；（3）存在，．

【解析】

（1）根據已知可得AE⊥CM，進而證明CM⊥平面EAM，即可證明結論；

（2）由（1）得出二面角A﹣MC﹣E的平面角為∠AME，解直角三角形AME，即可求出結論；

（3）以M為原點，建立空間直角坐標系，設，求出坐標和平面法向量坐標，即可求解.

（1）∵EA⊥平面ABC；∴AE⊥CM，

又∵CM⊥AB且AB，EM相交于M點，且在平面EAM內；

∴CM⊥平面EAM，∴CM⊥ME．

（2）由（1）知道，∠AME為所求的平面角；

，

∴；

，

，

所以所求二面角的余弦值為；

（3）以M為原點，分別以MB，MC，為x，y軸，建立空間直角坐標系；

在△ABC，可得MB＝1，MA＝3，MC；

則，B（1，0，0），D（1，0，4），

，

設平面EMC的一個法向量；

，取x＝2，得

設；∴；

∵BN∥平面EMN；

∴；

所以；

故線段DC上存在一點N，使得直線BN∥平面EMC，

且．