Question

已知數列{an}中a_n=3ⁿ-2ⁿ，證明：

1

a1

+

1

a2

+…+

1

an

＜

3

2

（用裂項法）

Answer 1

考點：數列與不等式的綜合

專題：等差數列與等比數列

分析：由已知得

1 an

1 an-1

=

3n-1-2n-1

3n-2n

=

1

3

•

3n- 3 2 •2n

3n-2n

＜

1

3

，從而

1

a1

+

1

a2

+…+

1

an

＜

1

a1

+

1

a1

•

1

3

+

1

a1

•(

1

3

)2+…+

1

a1

•(

1

3

)n-1=1+

1

3

+（

1

3

）²+…+（

1

3

）^n-1，由此能證明

1

a1

+

1

a2

+…+

1

an

＜

3

2

．

解答： 證明：∵a_n=3ⁿ-2ⁿ，
∴

1

a1

=

1

3-2

=1，

1

an

=

1

3n-2n

，

1

an-1

=

1

3n-1-2n-1

，

1 an

1 an-1

=

3n-1-2n-1

3n-2n

=

1

3

•

3n- 3 2 •2n

3n-2n

＜

1

3

，
∴

1

a1

+

1

a2

+…+

1

an

＜

1

a1

+

1

a1

•

1

3

+

1

a1

•(

1

3

)2+…+

1

a1

•(

1

3

)n-1
=1+

1

3

+（

1

3

）²+…+（

1

3

）^n-1
=

1- 1 3n

1- 1 3

=

3

2

(1-

1

3n

)＜

3

2

．
∴

1

a1

+

1

a2

+…+

1

an

＜

1

a1

+

1

a1

•

1

3

+

1

a1

•(

1

3

)2+…+

1

a1

•(

1

3

)n-1
=1+

1

3

+（

1

3

）²+…+（

1

3

）^n-1
=

1- 1 3n

1- 1 3

=

3

2

(1-

1

3n

)＜

3

2

．
∴

1

a1

+

1

a2

+…+

1

an

＜

3

2

．

點評：本題考查不等式的證明，解題時要認真審題，注意等比數列的性質和裂項法的合理運用．