Question

（12分）四棱錐V-ABCD中，底面ABCD是正方形，側面VAD是正三角形，平面VAD⊥底面ABCD

（1）求證AB⊥面VAD；

（2）求二面角A-VD-B的正切值．

Answer 1

解：（1）證法一：由于面VAD是正三角形，設AD的中點為E，則VE⊥AD，                                    ……1分

而面VAD⊥底面ABCD，則VE⊥底面ABCD ，從而VE⊥AB        ……2分

又面ABCD是正方形，則AB⊥AD，且               ……3分

故AB⊥面VAD                                                 ……4分

證法二：面ABCD是正方形，則AB⊥AD                      ……1分

平面VAD⊥底面ABCD且交線為AD，                          ……2分

面VAD                                                ……4分

（2）由AB⊥面VAD，則點B在平面VAD內的射影是A，

設VD的中點為F，連AF，BF，            …… 5分

由△VAD是正三角形，則AF⊥VD，        ……6分

由三垂線定理知BF⊥VD，                 ……7分

故∠AFB是二面角A-VD-B的的平面角     ……8分

設正方形ABCD的邊長為a，則在Rt△ABF中，
AB=a,  AF=a，                       ……9分

tan∠AFB =            ……11分

故二面角A-VD-B的正切值為        ……12分