Question

在四棱錐V-ABCD中，底面ABCD是正方形，側(cè)面VAD是正三角形，平面VAD⊥底面ABCD．
（Ⅰ）如果P為線段VC的中點(diǎn)，求證：VA∥平面PBD；
（Ⅱ）如果正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2，求三棱錐A-VBD的體積．

Answer 1

分析：（Ⅰ）連結(jié)AC與BD交于點(diǎn)O，連結(jié)OP，可得OP是△VAC的中位線，再根據(jù)線和平面平行的判定定理證得 VA∥平面PBD．
（Ⅱ）在平的面VAD內(nèi)，過(guò)點(diǎn)V作VH⊥AD，則VH⊥面ABCD，再由VA-VBD=VV-ABD=

1

3

S△ABD•VH，運(yùn)算求得結(jié)果．

解答：解：（Ⅰ）連結(jié)AC與BD交于點(diǎn)O，連結(jié)OP，
因?yàn)锳BCD是正方形，所以O(shè)A=OC，又因?yàn)镻V=PC
所以O(shè)P∥VA，又因?yàn)镻O?面PBD，所以VA∥平面PBD．--------（6分）
（Ⅱ）在平的面VAD內(nèi)，過(guò)點(diǎn)V作VH⊥AD，因?yàn)槠矫鎂AD⊥底面ABCD，所以VH⊥面ABCD．
所以VA-VBD=VV-ABD=

1

3

S△ABD•VH=

1

3

×

1

2

×22×

3

2

×2=

2 3

3

．------（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查直線和平面平行的判定定理的應(yīng)用，用等體積法求棱錐的體積，屬于中檔題．