Question

已知拋物線f（x）=ax²+bx+

1

4

的最低點為（-1，0），
（1）求不等式f（x）＞4的解集；
（2）若對任意x∈[1，9]，不等式f（x-t）≤x恒成立，求實數t的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由題意可得f（-1）=0，-

b

2a

=-1，解出方程組可求得a，b，利用二次函數的性質可解不等式f（x）＞4；
（2）由f（x-t）≤x（1≤x≤9），可解得(

x

-1)2≤t≤(

x

+1)2（1≤x≤9），問題可轉化為t≤[(

x

+1)2]min且t≥[(

x

-1)2]max，解出相應函數的最值即可；

解答：解：（1）依題意，有

- b 2a =-1 f(-1)=a-b+ 1 4 =0

⇒

a= 1 4 b= 1 2

，
因此，f（x）的解析式為f（x）=(

x+1

2

)2；
故f（x）＞4⇒x²+2x-15＞0，解得x＜-5或x＞3，
所以不等式的解集為：{x|x＜-5或x＞3}；
（2）由f（x-t）≤x（1≤x≤9），得(

x-t+1

2

)2≤x（1≤x≤9），
解之得，(

x

-1)2≤t≤(

x

+1)2（1≤x≤9），
由此可得t≤[(

x

+1)2]min=4且t≥[(

x

-1)2]max=4，
所以實數t的取值范圍是{t|t=4}．

點評：本題考查二次函數的性質、二次不等式的求解及恒成立問題，深刻把握“三個二次”間的關系是解決問題的關鍵，恒成立問題常轉化為函數最值解決．