Question

已知拋物線f（x）=2x²-x上一點P（3，f（3））及附近一點P'（3+△x，f（3+△x）），則割線PP′的斜率為kPP′=

f(3+△x)-f(3)

△x

=

2△x+11

，當△x趨近于0時，割線趨近于點P處的切線，由此可得到點P處切線的一般方程為

11x-y-18=0

．

Answer 1

分析：把3+△x和3代入f（x）=2x²-x，再代入公式KPP′=

f(3+△x)-f(3)

△x

整理后即可；求點P處切線的方程，可先把
KPP′=

f(3+△x)-f(3)

△x

求△x→0的極限值得到切線的斜率，求出f（3）后直接寫出直線方程的點斜式，然后化為一般式．

解答：解：因為f（x）=2x²-x，
則割線PP′的斜率為kPP′=

f(3+△x)-f(3)

△x

=

2(3+△x)2-(3+△x)-(2×32-3)

△x

=

18+12△x+2(△x)2-3-△x-18+3

△x

=

2(△x)2+11△x

△x

=2△x+11．
當△x趨近于0時，割線趨近于點P處的切線，由此可得到點P處切線的斜率為：

lim

△x→0

(2△x+11)=11．
又f（3）=2×3²-3=15，所以P（3，15）．
所以，點P處切線的方程為y-15=11×（x-3），即為11x-y-18=0．
故答案分別為2△x+11，11x-y-18=0．

點評：本題考查了函數變化率，考查了導數的概念與其幾何意義，函數在曲線上某點處的導數值，就是函數圖象在該點處的切線的斜率．考查了直線方程的點斜式和一般式的互化，是基礎的概念題．