Question

已知數列{a_n}的前n項和為S_n，常數λ＞0，且λa₁a_n=S₁+S_n對一切正整數n都成立．
（Ⅰ）求數列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）設a₁＞0，λ=100，當n為何值時，數列的前n項和最大？

Answer 1

解（I）當n=1時，
∴a₁（λa₁-2）=0
若取a₁=0，則s_n=0，a_n=s_n-s_n-1=0
∴a_n=0（n≥1）
若a₁≠0，則，當n≥2時，2a_n=，
兩式相減可得，2a_n-2a_n-1=a_n
∴a_n=2a_n-1，從而可得數列{a_n}是等比數列
∴a_n=a₁•2^n-1==
綜上可得，當a₁=0時，a_n=0，當a₁≠0時，
（II）當a₁＞0且λ=100時，令
由（I）可知
∴{b_n}是單調遞減的等差數列，公差為-lg2
∴b₁＞b₂＞…＞b₆=＞0
當n≥7時，
∴數列的前6項和最大
分析：（I）由題意，n=1時，由已知可知a₁（λa₁-2）=0，分類討論：由a₁=0，及a₁≠0，結合數列的和與項的遞推公式可求
（II）由a₁＞0且λ=100時，令，則，結合數列的單調性可求和的最大項
點評：本題主要考查了利用數列的遞推公式求解數列的通項公式及利用數列的單調性求解數列的和的最大項，還考查了一定的邏輯運算與推理的能力．